Wissenschaftliche Schreibweise - Scientific notation

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Die wissenschaftliche Notation ist eine Möglichkeit, Zahlen auszudrücken , die zu groß oder zu klein sind, um bequem in Dezimalform geschrieben zu werden . Es kann im Vereinigten Königreich als wissenschaftliche Form oder Standardindexform oder Standardform bezeichnet werden . Diese Basis-Zehn- Notation wird häufig von Wissenschaftlern, Mathematikern und Ingenieuren verwendet, auch weil sie bestimmte arithmetische Operationen vereinfachen kann . Bei wissenschaftlichen Taschenrechnern wird dies normalerweise als "SCI" ​​-Anzeigemodus bezeichnet.

Dezimalschreibweise Wissenschaftliche Schreibweise
2 2 × 10 0
300 3 × 10 2
4 321 0,768 4,321 768 × 10 3
-53 000 -5,3 × 10 4
6 720 000 000 6,72 × 10 9
0,2 2 × 10 –1
987 9,87 × 10 2
0,000 000 007 51 7,51 × 10 –9

In wissenschaftlicher Notation werden Zahlen ungleich Null in der Form geschrieben

m × 10 n

oder m mal zehn erhöht auf die Potenz von n , wobei n eine ganze Zahl ist und der Koeffizient m eine reelle Zahl ungleich Null ist (normalerweise zwischen 1 und 10 im absoluten Wert und fast immer als abschließende Dezimalzahl geschrieben ). Die ganze Zahl n heißt Exponent und die reelle Zahl m heißt Signifikand oder Mantisse . Der Begriff "Mantisse" kann bei Logarithmen mehrdeutig sein, da er auch der traditionelle Name des Bruchteils des gemeinsamen Logarithmus ist . Wenn der Signifikand negativ ist, steht ein Minuszeichen vor m , wie in der gewöhnlichen Dezimalschreibweise. In der normalisierten Notation wird der Exponent so gewählt, dass der Absolutwert (Modul) des Signifikanten m mindestens 1, aber weniger als 10 beträgt.

Der dezimale Gleitkomma ist ein Computerarithmetiksystem, das eng mit der wissenschaftlichen Notation verwandt ist.

Normalisierte Notation

Jede gegebene reelle Zahl kann auf viele Arten in der Form m × 10 n geschrieben ^ werden: Zum Beispiel kann 350 als geschrieben werden 3,5 × 10 2 oder 35 × 10 1 oder 350 × 10 0 .

In der normalisierten wissenschaftlichen Notation (im Vereinigten Königreich als "Standardform" bezeichnet) wird der Exponent n so gewählt, dass der Absolutwert von m mindestens eins, aber weniger als zehn bleibt ( 1 ≤ | m | <10 ). Somit ist 350 geschrieben als 3,5 × 10 2 . Diese Form ermöglicht einen einfachen Vergleich von Zahlen, da der Exponent n das Jahrzehnt der Zahl angibt . Dies ist das Formular, das für die Verwendung von Tabellen mit allgemeinen Logarithmen erforderlich ist . In der normalisierten Notation ist der Exponent n für eine Zahl mit einem Absolutwert zwischen 0 und 1 negativ (z. B. wird 0,5 geschrieben als 5 × 10 –1 ). Die 10 und der Exponent werden oft weggelassen, wenn der Exponent 0 ist.

Die normalisierte wissenschaftliche Form ist in vielen Bereichen die typische Form des Ausdrucks großer Zahlen, es sei denn, eine nicht normalisierte Form wie die technische Notation ist erwünscht. Normalisierte wissenschaftliche Notation wird oft als exponentielle Notation -Obwohl der letzterer Begriff ist allgemeiner und auch gilt , wenn m nicht auf den Bereich von 1 bis 10 beschränkt ist (wie in technischen Notation zum Beispiel) und Basen anderen als 10 (beispielsweise 3,15 × 2 20 ^ ).

Technische Notation

Die technische Notation (auf wissenschaftlichen Taschenrechnern häufig als "ENG" -Anzeigemodus bezeichnet) unterscheidet sich von der normalisierten wissenschaftlichen Notation dadurch, dass der Exponent n auf ein Vielfaches von 3 beschränkt ist. Folglich liegt der Absolutwert von m im Bereich von 1 ≤ | m | <1000 statt 1 ≤ | m | <10. Obwohl das Konzept ähnlich ist, wird die technische Notation selten als wissenschaftliche Notation bezeichnet. Dank der technischen Notation können die Zahlen explizit mit den entsprechenden SI-Präfixen übereinstimmen , was das Lesen und die mündliche Kommunikation erleichtert. Zum Beispiel, 12,5 × 10 –9  m können als "Zwölf-Punkt-Fünf-Nanometer" gelesen und als geschrieben werden 12,5 nm , während seine wissenschaftliche Notation äquivalent ist 1,25 × 10 –8  m würden wahrscheinlich als "Ein-Punkt-Zwei-Fünf-mal-Zehn-zu-Negativ-Acht-Meter" ausgelesen.

Bedeutende Zahlen

Eine signifikante Zahl ist eine Ziffer in einer Zahl, die zu ihrer Genauigkeit beiträgt. Dies umfasst alle Zahlen ungleich Null, Nullen zwischen signifikanten Ziffern und Nullen , die als signifikant angezeigt werden . Führende und nachfolgende Nullen sind nicht signifikant, da sie nur existieren, um die Skala der Zahl anzuzeigen. Deshalb, 1 230 400 hat normalerweise fünf signifikante Zahlen: 1, 2, 3, 0 und 4; Die letzten beiden Nullen dienen nur als Platzhalter und fügen der ursprünglichen Zahl keine Genauigkeit hinzu.

Wenn eine Zahl in eine normalisierte wissenschaftliche Notation umgewandelt wird, wird sie auf eine Zahl zwischen 1 und 10 verkleinert. Alle signifikanten Ziffern bleiben erhalten, aber die Stelle mit den Nullen wird nicht mehr benötigt. So 1 230 400 würde werden 1,2304 × 10 6 . Es besteht jedoch auch die Möglichkeit, dass die Nummer sechs oder mehr signifikanten Zahlen bekannt ist. In diesem Fall würde die Nummer als (zum Beispiel) angezeigt. 1,230 40 × 10 6 . Ein zusätzlicher Vorteil der wissenschaftlichen Notation besteht darin, dass die Anzahl der signifikanten Zahlen klarer ist.

Geschätzte letzte Ziffer (n)

Bei wissenschaftlichen Messungen ist es üblich, alle definitiv bekannten Ziffern aus den Messungen aufzuzeichnen und mindestens eine zusätzliche Ziffer zu schätzen, wenn überhaupt Informationen verfügbar sind, die es dem Beobachter ermöglichen, eine Schätzung vorzunehmen. Die resultierende Zahl enthält mehr Informationen als ohne diese zusätzliche (n) Ziffer (n), und sie (oder sie) können als signifikante Ziffer angesehen werden, da sie einige Informationen übermittelt, die zu einer höheren Genauigkeit bei Messungen und bei Aggregationen von Messungen führen (Hinzufügen oder Multiplizieren) Sie zusammen).

Zusätzliche Informationen zur Präzision können durch zusätzliche Notationen vermittelt werden. Es ist oft nützlich zu wissen, wie genau die letzten Ziffern sind. Zum Beispiel kann der akzeptierte Wert der Einheit der Elementarladung richtig ausgedrückt werden als 1,602 176 6208 (98) × 10 –19 °   C , was eine Abkürzung für ist (1.602 176 6.208 ± 0.000 000 0.098 ) × 10 -19  C .

E-Notation

Eine Taschenrechneranzeige, die die Avogadro-Konstante in E-Notation anzeigt

Die meisten Rechner und viele Computerprogramme präsentieren sehr große und sehr kleine Ergebnisse in der wissenschaftlichen Schreibweise, in der Regel durch einen Schlüssel gekennzeichnet aufgerufen EXP (für Exponenten ), EEX (für Eingabe Exponenten ) EE , EX , E , oder je nach Hersteller und Modell. Da hochgestellte Exponenten wie 10 7 nicht immer bequem angezeigt werden können, wird der Buchstabe E (oder e ) häufig verwendet, um "mal zehn hochgesetzt" darzustellen (was als "× 10 n " geschrieben werden würde ), gefolgt von der Wert des Exponenten; Mit anderen Worten, für zwei beliebige reelle Zahlen m und n würde die Verwendung von " m E n " einen Wert von m × 10 n anzeigen . In dieser Verwendung bezieht sich das Zeichen e nicht auf die mathematische Konstante e oder die Exponentialfunktion e x (eine Verwirrung, die unwahrscheinlich ist, wenn die wissenschaftliche Notation durch ein Großbuchstaben E dargestellt wird ). Obwohl das E für Exponent steht , wird die Notation normalerweise eher als (wissenschaftliche) E-Notation als als (wissenschaftliche) Exponentialnotation bezeichnet . Die Verwendung der E-Notation erleichtert die Dateneingabe und Lesbarkeit in der Textkommunikation, da sie Tastenanschläge minimiert, reduzierte Schriftgrößen vermeidet und eine einfachere und präzisere Anzeige bietet. In einigen Veröffentlichungen wird dies jedoch nicht empfohlen. ×10x

Beispiele und andere Notationen

Raumnutzung

In der normalisierten wissenschaftlichen Notation, in der E-Notation und in der technischen Notation der Raum (der beim Satz durch einen Raum mit normaler Breite oder einen dünnen Raum dargestellt werden kann ), der nur vor und nach "×" oder vor "E" zulässig ist. wird manchmal weggelassen, obwohl es weniger üblich ist, dies vor dem alphabetischen Zeichen zu tun.

Weitere Beispiele für wissenschaftliche Notation

  • Die Masse eines Elektrons ist ungefähr 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356  kg . In wissenschaftlicher Notation ist dies geschrieben 9,109 383 56 × 10 –31  kg (in SI-Einheiten).
  • Die Erde ‚s Masse ist über 5 972 400 000 000 000 000 000 000  kg . In wissenschaftlicher Notation ist dies geschrieben 5,9724 × 10 24  kg .
  • Der Erdumfang beträgt ungefähr 40 000 000  m . In wissenschaftlicher Notation ist dies 4 × 10 7  m . In der technischen Notation wird dies geschrieben 40 × 10 6  m . Im SI-Schreibstil kann dies geschrieben werden 40 mm ( 40 Megameter ).
  • Ein Zoll ist genau definiert 25,4 mm . Angabe eines Wertes von 25.400 mm zeigen, dass der Wert auf das nächste Mikrometer genau ist. Ein angenäherter Wert mit nur zwei signifikanten Stellen wäre Stattdessen 2,5 × 10 1  mm . Da die Anzahl der signifikanten Stellen unbegrenzt ist, kann die Länge eines Zolls bei Bedarf wie folgt geschrieben werden: Stattdessen 2,540 000 000 00 × 10 1  mm .
  • Hyperinflation ist ein Problem, das verursacht wird, wenn zu viel Geld gedruckt wird, weil zu wenig Rohstoffe vorhanden sind, wodurch die Inflationsrate in einem einzigen Monat um 50% oder mehr steigt. Währungen verlieren im Laufe der Zeit tendenziell ihren inneren Wert. Einige Länder hatten eine Inflationsrate von 1 Million Prozent oder mehr in einem einzigen Monat, was normalerweise dazu führt, dass die Landeswährung kurz danach aufgegeben wird. Im November 2008 erreichte die monatliche Inflationsrate des simbabwischen Dollars 79,6 Milliarden Prozent; der ungefähre Wert mit drei signifikanten Zahlen wäre 7,96 × 10 10 Prozent.

Zahlen konvertieren

Das Konvertieren einer Zahl bedeutet in diesen Fällen, entweder die Zahl in eine wissenschaftliche Notationsform umzuwandeln, sie wieder in eine Dezimalform umzuwandeln oder den Exponententeil der Gleichung zu ändern. Nichts davon ändert die tatsächliche Anzahl, nur wie sie ausgedrückt wird.

Dezimal zu wissenschaftlich

Bewegen Sie zuerst den Dezimaltrennpunkt um genügend Stellen n , um den Wert der Zahl in einen gewünschten Bereich zwischen 1 und 10 für die normalisierte Notation zu bringen. Wenn die Dezimalstelle nach links verschoben wurde, fügen Sie sie hinzu . rechts , . Um die Nummer darzustellen × 10n× 10−n 1.230.400 in normalisierter wissenschaftlicher Notation würde das Dezimaltrennzeichen 6 Stellen nach links verschoben und angehängt, was zu × 106 1,2304 × 10 6 . Die Nummer −0.004 0321 würde sein Dezimaltrennzeichen um 3 Stellen nach rechts anstatt nach links verschieben und ergeben -4.0321 × 10 −3 als Ergebnis.

Wissenschaftlich bis dezimal

Wenn Sie eine Zahl von der wissenschaftlichen Notation in die Dezimalschreibweise konvertieren, entfernen Sie zuerst die Zahl am Ende und verschieben Sie dann das Dezimaltrennzeichen n nach rechts (positiv n ) oder links (negativ n ). Die Nummer × 10n 1.2304 × 10 6 würde sein Dezimaltrennzeichen um 6 Stellen nach rechts verschieben und werden 1.230.400 , während −4.0321 × 10 −3 würde sein Dezimaltrennzeichen 3 Stellen nach links verschieben und sein −0.004 0321 .

Exponentiell

Die Umwandlung zwischen verschiedenen wissenschaftlichen Notationsdarstellungen derselben Zahl mit unterschiedlichen Exponentialwerten wird erreicht, indem entgegengesetzte Multiplikations- oder Divisionsoperationen mit einer Zehnerpotenz auf dem Signifikanten und einer Subtraktion oder Addition von eins auf dem Exponententeil durchgeführt werden. Das Dezimaltrennzeichen im Signifikanten wird x Stellen nach links (oder rechts) verschoben und x wird zum Exponenten addiert (oder von diesem subtrahiert), wie unten gezeigt.

1,234 × 10 3 = 12,34 × 10 2 = 123,4 × 10 1 = 1234

Grundoperationen

Angesichts zweier Zahlen in wissenschaftlicher Notation,

und

Multiplikation und Division werden unter Verwendung der Regeln für den Betrieb mit Potenzierung durchgeführt :

und

Einige Beispiele sind:

und

Addition und Subtraktion erfordern, dass die Zahlen mit demselben Exponentialteil dargestellt werden, damit der Signifikand einfach addiert oder subtrahiert werden kann:

und mit

Als nächstes addieren oder subtrahieren Sie die Signifikanten:

Ein Beispiel:

Andere Basen

Während Basis zehn normalerweise für die wissenschaftliche Notation verwendet wird, können auch Potenzen anderer Basen verwendet werden, wobei Basis 2 die am zweithäufigsten verwendete ist.

Beispielsweise wird in der wissenschaftlichen Notation der Basis 2 die Zahl 1001 b in Binärzahl (= 9 d ) als 1,001 b × 2 d 11 b oder 1,001 b × 10 b 11 b unter Verwendung von Binärzahlen (oder kürzer 1,001 × 10 11 if geschrieben) binärer Kontext ist offensichtlich). In der E-Notation wird dies als 1.001 b E11 b (oder kürzer: 1.001E11) geschrieben, wobei der Buchstabe E hier jetzt für "mal zwei (10 b ) zur Potenz" steht. Um diesen Basis-2-Exponenten besser von einem Basis-10-Exponenten zu unterscheiden, wird ein Basis-2-Exponent manchmal auch durch Verwendung des Buchstabens B anstelle von E angezeigt , einer Kurzschreibweise, die ursprünglich von Bruce Alan Martin vom Brookhaven National Laboratory im Jahr 1968 vorgeschlagen wurde wie in 1.001 b B11 b (oder kürzer: 1.001B11). Zum Vergleich die gleiche Zahl in der Dezimaldarstellung : 1,125 × 2 3 (unter Verwendung der Dezimaldarstellung) oder 1,125B3 (immer noch unter Verwendung der Dezimaldarstellung). Einige Taschenrechner verwenden eine gemischte Darstellung für binäre Gleitkommazahlen, wobei der Exponent auch im Binärmodus als Dezimalzahl angezeigt wird, sodass der oben genannte Wert 1,001 b × 10 b 3 d oder kürzer 1,001B3 beträgt.

Dies hängt eng mit der in der Computerarithmetik üblicherweise verwendeten Gleitkommadarstellung der Basis 2 und der Verwendung von binären IEC- Präfixen zusammen (z. B. 1B10 für 1 × 2 10 ( kibi ), 1B20 für 1 × 2 20 ( mebi ), 1B30 für 1 × 2 30 ( Gibi ), 1B40 für 1 × 2 40 ( Tebi )).

Ähnlich wie bei B (oder b ) werden die Buchstaben H (oder h ) und O (oder o oder C ) manchmal auch verwendet, um die Zeiten 16 oder 8 nach der Potenz anzugeben, wie in 1,25 = 1,40 h × 10 h 0 h = 1,40 H0 = 1,40 h0 oder 98000 = 2,7732 o × 10 o 5 o = 2,7732o5 = 2,7732C5.

Eine andere ähnliche Konvention zur Bezeichnung von Basis-2-Exponenten ist die Verwendung eines Buchstabens P (oder p für "Potenz"). In dieser Notation soll der Signifikant immer hexadezimal sein, während der Exponent immer dezimal sein soll. Diese Notation kann durch Implementierungen der printf- Funktionsfamilie gemäß der C99- Spezifikation und dem POSIX- Standard IEEE Std 1003.1 ( Single Unix Specification ) unter Verwendung der Konvertierungsspezifizierer % a oder % A erstellt werden. Ab C ++ 11 können C ++ - E / A-Funktionen auch die P-Notation analysieren und drucken. Inzwischen wurde die Notation seit C ++ 17 vollständig vom Sprachstandard übernommen . Apple ‚s Swift unterstützt es auch. Dies wird auch vom binären Gleitkomma-Standard IEEE 754-2008 verlangt . Beispiel: 1.3DEp42 steht für 1.3DE h × 2 42 .

Die technische Notation kann als wissenschaftliche Basis-1000-Notation angesehen werden.

Siehe auch

Verweise

Externe Links