Positionswinkel - Position angle

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Eine Darstellung, wie der Positionswinkel durch ein Teleskopokular geschätzt wird; Der Primärstern ist in der Mitte.

In der Astronomie ist der Positionswinkel (normalerweise abgekürzt PA ) die Konvention zum Messen von Winkeln am Himmel. Die Internationale Astronomische Union definiert es als den Winkel, der relativ zum nördlichen Himmelspol (NCP) gemessen wird und sich positiv in Richtung des rechten Aufstiegs dreht . In den Standardbildern (nicht gespiegelt) ist dies ein Maß gegen den Uhrzeigersinn relativ zur Achse in Richtung der positiven Deklination .

Im Fall von beobachteten visuellen Doppelsternen ist dies definiert als der Winkelversatz des Sekundärsterns vom Primärstern relativ zum nördlichen Himmelspol .

Wie das Beispiel zeigt, wenn man einen hypothetischen Doppelstern mit einem PA von 135 ° beobachtet, bedeutet dies, dass eine imaginäre Linie im Okular, die vom nördlichen Himmelspol zum primären (P) gezogen wird, vom sekundären (S) versetzt wäre dass der NCP-PS-Winkel 135 ° betragen würde.

Bei der grafischen Darstellung von visuellen Binärbahnen wird die NCP-Linie traditionell nach unten gezogen, dh mit Norden nach unten, und PA wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Auch die Richtung der Eigenbewegung kann zum Beispiel durch ihren Positionswinkel gegeben sein.

Die Definition des Positionswinkels wird auch auf erweiterte Objekte wie Galaxien angewendet, wobei sie sich auf den Winkel bezieht, den die Hauptachse des Objekts mit der NCP-Linie bildet.

Nautik

Das Konzept des Positionswinkels stammt aus der nautischen Navigation auf den Ozeanen, wobei der optimale Kompasskurs der Kurs von einer bekannten Position s zu einer Zielposition t mit minimalem Aufwand ist. Abgesehen vom Einfluss von Winden und Meeresströmungen ist der optimale Kurs der Verlauf des kleinsten Abstands zwischen den beiden Positionen auf der Meeresoberfläche. Die Berechnung des Kompasskurses ist als inverses Problem der Geodäten bekannt .

In diesem Artikel wird nur die Abstraktion der Minimierung des Abstands zwischen s und t betrachtet , der sich auf der Oberfläche einer Kugel mit einem gewissen Radius R bewegt : In welchen Richtungswinkel p relativ zum Norden sollte das Schiff steuern, um die Zielposition zu erreichen?

Globales geozentrisches Koordinatensystem

Der Positionswinkel des Punktes t am Punkt s ist der Winkel, in dem sich der grüne und der gestrichelte Großkreis bei s schneiden . Die Einheitsrichtungen u E , u N und die Rotationsachse ω sind durch Pfeile markiert.

Eine detaillierte Bewertung der optimalen Richtung ist möglich, wenn die Meeresoberfläche durch eine Kugeloberfläche angenähert wird. Die Standardberechnung platziert das Schiff auf einem geodätischen Breitengrad φ s und einem geodätischen Längengrad λ s , wobei φ nördlich des Äquators als positiv und λ östlich von Greenwich als positiv angesehen wird . In dem im Zentrum der Kugel zentrierten globalen Koordinatensystem sind die kartesischen Komponenten

und die Zielposition ist

Der Nordpol ist bei

Der Mindestabstand d ist der Abstand entlang eines Großkreises, der durch s und t verläuft . Es wird in einer Ebene berechnet, die den Kugelmittelpunkt und den Großkreis enthält .

Dabei ist θ der Winkelabstand zweier Punkte vom Mittelpunkt der Kugel aus, gemessen im Bogenmaß . Der Kosinus des Winkels wird durch das Punktprodukt der beiden Vektoren berechnet

Wenn das Schiff direkt zum Nordpol steuert, beträgt die Fahrstrecke

Wenn ein Schiff bei t startet und direkt zum Nordpol schwimmt, beträgt die Fahrstrecke

Kurze Ableitung

Die Cosinus - Formel der sphärischen Trigonometrie Ausbeuten für den Winkel p zwischen den großen Kreisen durch s , die auf das Nord einerseits und t auf der anderen Seite

Die Sinusformel ergibt

Wenn Sie dies nach sin θ s, t und Einfügung in die vorherige Formel lösen , erhalten Sie einen Ausdruck für die Tangente des Positionswinkels.

Lange Ableitung

Da die kurze Ableitung einen Winkel zwischen 0 und π ergibt, der das Vorzeichen (West oder Ost von Nord?) Nicht offenbart, ist eine explizitere Ableitung wünschenswert, die den Sinus und den Cosinus von p getrennt ergibt, so dass der richtige Zweig von verwendet wird Die inverse Tangente ermöglicht es, einen Winkel im vollen Bereich -π ≤ p ≤ π zu erzeugen .

Die Berechnung beginnt mit einer Konstruktion des Großkreises zwischen s und t . Es liegt in der Ebene, die das Kugelzentrum s und t enthält, und ist so konstruiert, dass es s um den Winkel θ s, t um eine Achse ω dreht . Die Achse ist senkrecht zur Ebene des Großkreises und durch den normalisierten Vektor berechnete Kreuzprodukt der beiden Positionen:

Ein rechtshändiges geneigtes Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt in der Mitte der Kugel ist durch die folgenden drei Achsen gegeben: die Achse s , die Achse

und die Achse ω . Eine Position entlang des Großkreises ist

Die Kompassrichtung wird durch Einfügen der beiden Vektoren s und s und Berechnen des Gradienten des Vektors in Bezug auf θ bei θ = 0 angegeben .

Der Winkel p ist gegeben, indem diese Richtung entlang zweier orthogonaler Richtungen in der Ebene tangential zur Kugel am Punkt s geteilt wird . Die zwei Richtungen sind durch die partiellen Ableitungen von s in Bezug auf φ und in Bezug auf λ gegeben , normalisiert auf die Längeneinheit:

u N zeigt nach Norden und u E zeigt nach Osten an der Position s . Der Positionswinkel p projiziert s in diese beiden Richtungen.

,

wobei das positive Vorzeichen bedeutet, dass die positiven Positionswinkel als Nord über Ost definiert sind. Die Werte des Cosinus und Sinus von p werden berechnet, indem diese Gleichung auf beiden Seiten mit den beiden Einheitsvektoren multipliziert wird.

Anstatt den verschlungenen Ausdruck von s insert einzufügen , kann die Bewertung verwenden, dass das Dreifachprodukt unter einer zirkulären Verschiebung der Argumente unveränderlich ist:

Wenn atan2 verwendet wird, um den Wert zu berechnen, kann man beide Ausdrücke durch Division durch cos φ t und Multiplikation mit sin θ s, t reduzieren , da diese Werte immer positiv sind und diese Operation die Vorzeichen nicht ändert; dann effektiv

Siehe auch

Weiterführende Literatur

  • Birney, D. Scott; Gonzalez, Guillermo; Oesper, David (2007). Beobachtungsastronomie . Cambridge University Press . p. 75. ISBN   978-0-521-85370-5 .

Verweise

Externe Links