Oberflächengravitation - Surface gravity

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Die Oberfläche der Schwerkraft , g , einer astronomischen Objekts ist die Erdbeschleunigung an seiner Oberfläche am Äquator erfahren, einschließlich der Effekte der Rotation. Die Oberflächengravitation kann als Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft angesehen werden, die ein hypothetisches Testteilchen erfährt, das sich sehr nahe an der Oberfläche des Objekts befindet und das, um das System nicht zu stören, eine vernachlässigbare Masse aufweist.

Die Oberflächengravitation wird in Beschleunigungseinheiten gemessen, die im SI- System Meter pro Sekunde im Quadrat sind . Es kann auch als ein Mehrfaches der ausgedrückt werden Erde ‚s Standardoberfläche der Schwerkraft , g  = 9,80665 m / s². In der Astrophysik kann die Oberflächengravitation als log g ausgedrückt werden , was erhalten wird, indem zuerst die Schwerkraft in cgs-Einheiten ausgedrückt  wird , wobei die Beschleunigungseinheit Zentimeter pro Sekunde im Quadrat ist, und dann der Logarithmus zur Basis 10 genommen wird . Daher könnte die Oberflächengravitation der Erde in cgs-Einheiten als 980,665 cm / s² mit einem Logarithmus zur Basis 10 (log  g ) von 2,992 ausgedrückt werden.

Die Oberflächengravitation eines Weißen Zwergs ist sehr hoch und eines Neutronensterns noch höher. Die Kompaktheit des Neutronensterns ergibt eine Oberflächengravitation von bis zu 7 × 10 12 m / s² mit typischen Werten in der Größenordnung von 10 12  m / s² (das ist mehr als das 10 11- fache der Erde). Ein Maß für diese immense Schwerkraft ist, dass Neutronensterne eine Fluchtgeschwindigkeit von etwa 100.000 km / s haben , was etwa einem Drittel der Lichtgeschwindigkeit entspricht . Für Schwarze Löcher muss die Oberflächengravitation relativistisch berechnet werden.

Verhältnis der Oberflächengravitation zu Masse und Radius

Oberflächengravitation verschiedener
Körper des Sonnensystems
(1 g = 9,80665 m / s 2 , die Oberflächengravitationsbeschleunigung auf der Erde)
Name Oberflächengravitation
Sonne 28,02 g
Merkur 0,377 g
Venus 0,905 g
Erde 1 g (mittlere Breiten)
Mond 0,165 7 g (Durchschnitt)
Mars 0,379 g (mittlere Breiten )
Phobos 0,000 581 g
Deimos 0,000 306 g
Ceres 0,029 g
Jupiter 2,528 g (mittlere Breiten )
Io 0,183 g
Europa 0,134 g
Ganymed 0,146 g
Callisto 0,126 g
Saturn 1,065 g (mittlere Breiten)
Titan 0,138 g
Enceladus 0,012 g
Uranus 0,886 g (Äquator)
Neptun 1,137 g (mittlere Breiten)
Triton 0,08 g
Pluto 0,063 g
Eris 0,084 g
67P-CG 0,000 017 g

In der Newtonsche Theorie der Schwerkraft , die Schwerkraft durch ein Objekt ausgeübt wird , proportional zu seiner Masse: ein Objekt mit der doppelten Masse produziert doppelt so viel Kraft. Die Newtonsche Schwerkraft folgt auch einem inversen Quadratgesetz , so dass das Bewegen eines Objekts, das doppelt so weit entfernt ist, seine Gravitationskraft durch vier teilt und das Bewegen, das zehnmal so weit entfernt ist, es durch 100 teilt. Dies ähnelt der Intensität des Lichts , die ebenfalls folgt ein inverses Quadratgesetz: In Bezug auf die Entfernung wird Licht weniger sichtbar. Im Allgemeinen kann dies als geometrische Verdünnung verstanden werden, die der Punktquellenstrahlung in den dreidimensionalen Raum entspricht.

Ein großes Objekt, wie ein Planet oder ein Stern , ist normalerweise ungefähr rund und nähert sich dem hydrostatischen Gleichgewicht (wobei alle Punkte auf der Oberfläche die gleiche Menge an potentieller Gravitationsenergie haben ). In kleinem Maßstab werden höhere Teile des Geländes erodiert, wobei erodiertes Material in niedrigeren Teilen des Geländes abgelagert wird. Im großen Maßstab verformt sich der Planet oder Stern selbst, bis das Gleichgewicht erreicht ist. Bei den meisten Himmelsobjekten kann der betreffende Planet oder Stern bei niedriger Rotationsrate als nahezu perfekte Kugel behandelt werden . Bei jungen, massereichen Sternen kann die äquatoriale Azimutgeschwindigkeit jedoch recht hoch sein - bis zu 200 km / s oder mehr - und eine erhebliche äquatoriale Ausbuchtung verursachen . Beispiele für solche schnell rotierenden Sterne sind Achernar , Altair , Regulus A und Vega .

Die Tatsache, dass viele große Himmelsobjekte ungefähr Kugeln sind, erleichtert die Berechnung ihrer Oberflächengravitation. Die Gravitationskraft außerhalb eines kugelsymmetrischen Körpers ist dieselbe, als ob seine gesamte Masse im Zentrum konzentriert wäre, wie von Sir Isaac Newton festgestellt wurde . Daher ist die Oberflächengravitation eines Planeten oder Sterns mit einer bestimmten Masse ungefähr umgekehrt proportional zum Quadrat seines Radius , und die Oberflächengravitation eines Planeten oder Sterns mit einer bestimmten durchschnittlichen Dichte ist ungefähr proportional zu seinem Radius. Zum Beispiel sind die kürzlich entdeckten Planeten , Gliese 581 c , mindestens 5 - mal die Masse der Erde, ist aber unwahrscheinlich , 5 - facher Schwerkraft seiner Oberfläche haben. Wenn seine Masse erwartungsgemäß nicht mehr als das Fünffache der Masse der Erde beträgt und es sich um einen felsigen Planeten mit einem großen Eisenkern handelt, sollte der Radius etwa 50% größer sein als der der Erde. Die Schwerkraft auf der Oberfläche eines solchen Planeten wäre ungefähr 2,2-mal so stark wie auf der Erde. Wenn es sich um einen eisigen oder wässrigen Planeten handelt, ist sein Radius möglicherweise doppelt so groß wie der der Erde. In diesem Fall ist seine Oberflächengravitation möglicherweise nicht mehr als 1,25-mal so stark wie die der Erde.

Diese Proportionalitäten können durch die Formel ausgedrückt werden:

wobei g die Oberfläche der Schwerkraft eines Objekts ist, als ein Vielfaches des exprimierten Erde ‚s, m seine Masse, als ein Vielfaches der exprimierten Erde ‘ s Masse (5.976 · 10 24  kg) und r sein Radius, als A Vielfaches des (mittleren) Erdradius (6.371 km). Zum Beispiel hat der Mars eine Masse von 6,4185 · 10 23  kg = 0,107 Erdmassen und einen mittleren Radius von 3,390 km = 0,532 Erdradien. Die Oberflächengravitation des Mars beträgt daher ungefähr

mal das der Erde. Ohne die Erde als Referenzkörper zu verwenden, kann die Oberflächengravitation auch direkt aus dem Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation berechnet werden , das die Formel ergibt

Dabei ist M die Masse des Objekts, r sein Radius und G die Gravitationskonstante . Wenn wir ρ = M / V die mittlere Dichte des Objekts bezeichnen lassen, können wir dies auch schreiben als

so dass für eine feste mittlere Dichte die Oberflächengravitation g proportional zum Radius  r ist .

Da die Schwerkraft umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist, fühlt eine Raumstation 400 km über der Erde fast die gleiche Gravitationskraft wie wir auf der Erdoberfläche. Eine Raumstation stürzt nicht zu Boden, weil sie sich im freien Fall befindet .

Gasriesen

Für Gasriesenplaneten wie Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun, bei denen die Oberflächen tief in der Atmosphäre liegen und der Radius nicht bekannt ist, wird die Oberflächengravitation bei einem Druckniveau von 1 bar in der Atmosphäre angegeben.

Nicht sphärisch symmetrische Objekte

Die meisten realen astronomischen Objekte sind nicht absolut sphärisch symmetrisch. Ein Grund dafür ist, dass sie sich häufig drehen, was bedeutet, dass sie durch die kombinierten Effekte von Gravitationskraft und Zentrifugalkraft beeinflusst werden . Dies führt dazu, dass Sterne und Planeten abgeflacht sind , was bedeutet, dass ihre Oberflächengravitation am Äquator kleiner ist als an den Polen. Dieser Effekt wurde von Hal Clement in seinem SF-Roman Mission of Gravity ausgenutzt , der sich mit einem massiven, sich schnell drehenden Planeten befasste, auf dem die Schwerkraft an den Polen viel höher war als am Äquator.

In dem Maße, in dem sich die interne Massenverteilung eines Objekts von einem symmetrischen Modell unterscheidet, können wir die gemessene Oberflächengravitation verwenden, um Dinge über die interne Struktur des Objekts abzuleiten. Diese Tatsache wurde seit 1915–1916 in die Praxis umgesetzt, als Roland Eötvös ' Torsionswaage verwendet wurde, um in der Nähe der Stadt Egbell (heute Gbely , Slowakei ) nach Öl zu suchen . 1663; , p. 223. 1924 wurde die Torsionswaage verwendet, um die Nash Dome -Ölfelder in Texas zu lokalisieren . , p. 223.

Manchmal ist es nützlich, die Oberflächengravitation einfacher hypothetischer Objekte zu berechnen, die in der Natur nicht vorkommen. Die Oberflächengravitation von unendlichen Ebenen, Rohren, Linien, Hohlschalen, Kegeln und noch unrealistischeren Strukturen kann verwendet werden, um Einblicke in das Verhalten realer Strukturen zu erhalten.

Schwarze Löcher

In der Relativitätstheorie erweist sich das Newtonsche Konzept der Beschleunigung als nicht eindeutig. Für ein Schwarzes Loch, das relativistisch behandelt werden muss, kann man eine Oberflächengravitation nicht als die Beschleunigung definieren, die ein Testkörper an der Oberfläche des Objekts erfährt, da keine Oberfläche vorhanden ist. Dies liegt daran, dass sich die Beschleunigung eines Testkörpers am Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs in der Relativitätstheorie als unendlich herausstellt. Aus diesem Grund wird ein renormierter Wert verwendet, der dem Newtonschen Wert in der nicht-relativistischen Grenze entspricht. Der verwendete Wert ist im Allgemeinen die lokale Eigenbeschleunigung (die am Ereignishorizont divergiert) multipliziert mit dem Gravitationszeit-Dilatationsfaktor (der am Ereignishorizont auf Null geht). Für den Schwarzschild-Fall verhält sich dieser Wert für alle Nicht-Null-Werte von r und  M mathematisch gut .

Wenn man über die Oberflächengravitation eines Schwarzen Lochs spricht, definiert man einen Begriff, der sich analog zur Newtonschen Oberflächengravitation verhält, aber nicht dasselbe ist. Tatsächlich ist die Oberflächengravitation eines allgemeinen Schwarzen Lochs nicht gut definiert. Man kann jedoch die Oberflächengravitation für ein Schwarzes Loch definieren, dessen Ereignishorizont ein Tötungshorizont ist.

Die Oberflächengravitation eines statischen Tötungshorizonts ist die Beschleunigung, die im Unendlichen ausgeübt wird, um ein Objekt am Horizont zu halten. Wenn es sich mathematisch gesehen um einen geeignet normalisierten Tötungsvektor handelt , wird die Oberflächengravitation durch definiert

wo die Gleichung am Horizont ausgewertet wird. Für eine statische und asymptotisch flache Raumzeit sollte die Normalisierung so gewählt werden, dass als , und so . Für die Schwarzschild - Lösung, nehmen wir an , die seine Zeit Übersetzung Abtöten Vektor und allgemein für die Kerr-Newman - Lösung nehmen wir die lineare Kombination des Zeit Übersetzung und Axialsymmetrie Abtöten Vektoren , die null am Horizont ist, wo die Winkelgeschwindigkeit .

Schwarzschild-Lösung

Da impliziert ein Tötungsvektor . In Koordinaten . Wenn Sie eine Koordinatenänderung an den erweiterten Eddington-Finklestein-Koordinaten durchführen, nimmt die Metrik die Form an

Bei einer allgemeinen Änderung der Koordinaten transformiert sich der Tötungsvektor in die Vektoren und

Unter Berücksichtigung des Eintrags b  =  ergibt sich die Differentialgleichung

Daher beträgt die Oberflächengravitation für die Schwarzschild-Lösung mit Masse

Kerr-Lösung

Die Oberflächengravitation für das ungeladene, rotierende Schwarze Loch ist einfach

Wo ist die Schwarzschild-Oberflächengravitation und ist die Federkonstante des rotierenden Schwarzen Lochs? ist die Winkelgeschwindigkeit am Ereignishorizont. Dieser Ausdruck ergibt eine einfache Hawking-Temperatur von .

Kerr-Newman-Lösung

Die Oberflächengravitation für die Kerr-Newman-Lösung beträgt

Wo ist die elektrische Ladung, ist der Drehimpuls, definieren wir als die Orte der beiden Horizonte und .

Dynamische Schwarze Löcher

Die Oberflächengravitation für stationäre Schwarze Löcher ist gut definiert. Dies liegt daran, dass alle stationären Schwarzen Löcher einen Horizont haben, der tötet. Vor kurzem gab es eine Verschiebung hin zur Definition der Oberflächengravitation dynamischer Schwarzer Löcher, deren Raumzeit keinen Tötungsvektor (Feld) zulässt . Im Laufe der Jahre wurden von verschiedenen Autoren mehrere Definitionen vorgeschlagen. Derzeit gibt es keinen Konsens oder keine Übereinstimmung darüber, welche Definition gegebenenfalls korrekt ist.

Verweise

Externe Links